Prawo powszechnego ciążenia
Rozważania dotyczące grawitacji rozpoczniemy od prostego przykładu.
Przykład 1: Stosunek przyspieszeń
Obliczmy stosunek przyspieszenia dośrodkowego Księżyca w kierunku Ziemi do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi. Przyspieszenie dośrodkowe w ruchu jednostajnym po okręgu możemy obliczyć na podstawie równania Ruch jednostajny po okręgu-( 5 )
gdzie \( R_K = 3.86·10{^5} \) km jest odległością od Ziemi do Księżyca. Okres obiegu Księżyca wokół Ziemi wynosi \( T = 27.3 \) dnia. Otrzymujemy więc \( a_K =2.73·10{^3} \) m/s \( {^2} \). Natomiast w pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi \( 9.8 \) m/s \( {^2} \). Stosunek tych przyspieszeń
Ponieważ promień Ziemi wynosi \( R_Z=6300 \) km to zauważmy, że w granicach błędu
Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między dwoma masami (między ich środkami) maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi. Ponadto zauważył, że skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła przyciągania między każdymi dwoma masami \( m_{1} \) i \( m_{2} \). Na tej podstawie i w oparciu o liczne obserwacje astronomiczne dokonane przez jego poprzedników min. Kopernika, Galileusza, Keplera, Newton sformułował w 1687 r prawo powszechnego ciążenia.
Prawo 1: Prawo powszechnego ciążenia
To jest prawo powszechne, ponieważ stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych; np. wyjaśnia spadanie ciał na Ziemię, ale też tłumaczy ruch planet.
Wartość współczynnika proporcjonalności \( G \), nazywanego stałą grawitacji, Newton oszacował stosując równanie do siły działającej między Ziemią, a ciałem o masie \( m \). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki
skąd
gdzie \( R_Z \) jest promieniem Ziemi. Masę Ziemi \( m_Z \) Newton obliczył zakładając średnią gęstość Ziemi równą \( \rho_Z = 5·10{^3} \) kg/m \( {^3} \) (dla porównania gęstość żelaza, głównego składnika masy Ziemi, wynosi \( \rho_{Fe}= 7.9·10{^3} \)·kg/m \( {^3} \), a gęstość krzemu, podstawowego składnika skorupy ziemskiej, wynosi \( \rho_{Si}= 2.8·10{^3} \) kg/m \( {^3} \)). Uwzględniając \( R_Z =6.37·10{^6} \) m.
Newton otrzymał wartość \( G =7.35·10{^{-11}} \)Nm \( {^2} \)/kg \( {^2} \) co jest wartością tylko o \( 10\% \) większą niż ogólnie dzisiaj przyjmowana wartość \( 6.67·10{^{11}} \)Nm \( {^2} \)/kg \( {^2} \). Wartość stałej \( G \)obliczonej przez Newtona jest obarczona błędem wynikającym z przyjętej średniej wartości gęstości Ziemi.
Żeby wyznaczyć stałą \( G \) w laboratorium niezależnie odmasy Ziemi i tym samym uniknąć błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi trzeba by zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas \( m_{1} \) i \( m_{2} \) umieszczonychw odległości \( R \). Wówczas
Zauważmy jednak, że przykładowo dla mas każda po \( 1 \) kg oddalonych odsiebie o \( 10 \) cm siła \( F \) ma wartość \( F=6.67·10{^{-9}} \) N i jest za mała by ją dokładnie zmierzyć standardowymi metodami.
Problem pomiaru tak małej siły rozwiązał Cavendish. Jego opis znajduje się w module Dodatek: Doświadczenie Cavendisha.